Question

過點M（2，4）向圓C：（x-1）²+（y+3）²=1引兩條切線，切點分別為P，Q．
（1）直線PQ的方程；
（2）切點弦PQ的長．

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）確定M、P、Q、C四點共圓．其圓是以CM為直徑的圓，再與已知圓相減，即可求出直線PQ的方程；
（2）求出圓心C到直線PQ的距離，利用勾股定理求切點弦PQ的長．

解答： 解：（1）連結CP、CQ，則CP⊥PM，CQ⊥QM．
∴M、P、Q、C四點共圓．其圓是以CM為直徑的圓．∵C（1，-3），∴CM的中點為（

3

2

，

1

2

）．
∴|CM|=

(2-1)2+(4+3)2

=5

2

．
∴以CM為直徑的圓的方程為（x-

3

2

）²+（y-

1

2

）²=

25

2

．
∴PQ的方程為（x-1）²+（y+3）²-1-[（x-

3

2

）²+（y-

1

2

）²-

25

2

]=0，即x+7y+19=0；
（2）圓心C到直線PQ的距離為

|1-21+19|

1+49

=

1

50

，
∴切點弦PQ的長=2

1- 1 50

=

7 2

10

．

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．