Question

如果對于函數f（x）的定義域內任意的x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，那么就稱函數f（x）是定義域上的“平緩函數”．
（1）判斷函數f（x）=x²-x，x∈[0，1]是否是“平緩函數”；
（2）若函數f（x）是閉區間[0，1]上的“平緩函數”，且f（0）=f（1）．證明：對于任意
的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

1

2

成立．
（3）設a、m為實常數，m＞0．若f（x）=alnx是區間[m，+∞）上的“平緩函數”，試估計a的取值范圍（用m表示，不必證明）．

Answer 1

證明：（1）對于任意的x₁，x₂∈[0，1]，
      有-1≤x₁+x₂-1≤1，|x₁+x₂-1|≤1．（2分）
      從而|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁²-x₁）-（x₂²-x₂）|=|x₁-x₂||x₁+x₂-1|≤|x₁-x₂|．
∴函數f（x）=x²-x，x∈[0，1]是“平緩函數”．（4分）
（2）當|x₁-x₂|＜

1

2

時，由已知得|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|＜

1

2

；（6分）
     當|x₁-x₂|≥

1

2

時，因為x₁，x₂∈[0，1]，不妨設0≤x₁＜x₂≤1，其中x₁-x₂≤-

1

2

，
     因為f（0）=f（1），所以：
|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（1）-f（x₂）|≤|f（x₁）-f（0）|+|f（1）-f（x₂）|≤|x₁-0|+|1-x₂|=x₁-x₂+1≤-

1

2

+1=

1

2

．
    故對于任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

1

2

成立．（10分）
（3）結合函數f（x）=alnx的圖象性質及其在點x=m處的切線斜率，估計a的取值范圍是閉區間[-m，m]．（注：只需直
     接給出正確結論）（14分）