Question

如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意的x，都有f（x）≥M（M為常數(shù)），稱M為f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下確界．定義在[1，e]上的函數(shù)f（x）=2x-1+lnx的下確界M=

1

．

Answer 1

分析：根據(jù)題中函數(shù)下界和下確界的定義，得到函數(shù)的下確界是小于或等于函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)的最小值的那個(gè)常數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）=2x-1+lnx的單調(diào)性，得到它在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，最小值為f（1）=1，從而得到函數(shù)的下確界M=1．

解答：解：∵對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意的x，都有f（x）≥M（M為常數(shù)），
∴函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意的x，[f（x）]_min≥M
∵M(jìn)為f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下確界．
∴下確界是小于或等于函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)的最小值的常數(shù)
對(duì)于f（x）=2x-1+lnx，求導(dǎo)數(shù)得：f'（x）=2+

1

x

，其中x∈[1，e]
∵

1

x

∈[

1

e

，1]，
∴f'（x）≥2+

1

e

＞0
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，故[f（x）]_min=f（1）=2×1-1+ln1=1
∴對(duì)任意的x∈[1，e]，f（x）≥1成立
函數(shù)的下界為小于或等于1的數(shù)，其中最大值為1，因此下確界M=1
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)的下界和下確界為載體，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值的求法，考查了對(duì)不等式恒成立的理解，屬于中檔題．