Question

15．若定義在R上的單調減函數f（x）滿足：f（a-2sinx）≤f（cos²x）對一切實數x∈R恒成立，則實數a的取值范圍是${\;}_{\;}^{\;}a≥2{\;}_{\;}^{\;}$．

Answer 1

分析 若f（a-2sinx）≤f（cos²x）對一切實數x∈R恒成立，則a≥cos²x+2sinx=1-sin²x+2sinx對一切實數x∈R恒成立，求出1-sin²x+2sinx的最大值，可得答案．

解答 解：∵函數f（x）是定義在R上的單調減函數，
若f（a-2sinx）≤f（cos²x）對一切實數x∈R恒成立，
則a-2sinx≥cos²x對一切實數x∈R恒成立，
即a≥cos²x+2sinx=1-sin²x+2sinx對一切實數x∈R恒成立，
令t=sinx，y=-t²+2t+1，t∈[-1，1]，
故t=1時，y取最大值2，
故${\;}_{\;}^{\;}a≥2{\;}_{\;}^{\;}$；
故答案為：${\;}_{\;}^{\;}a≥2{\;}_{\;}^{\;}$

點評 本題考查的知識點是函數恒成立，換元法，函數的最值，函數的單調性，難度中檔．