Question

已知函數(shù)f（x）=2n

1+x2

-x在[0，+∞）上最小值是a_n（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=

4

a 2 n +1

，求證：b₁+b₂+…+b_n＜

5

3

．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)得出f′（x）=2n•

2x

2 1+x2

-1=

2nx

1+x2

-1，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，得出a_n=f（

1

4n2-1

）=

4n2-1

（2）b_n=

4

a 2 n +1

=

1

n2

，對分母放縮列項(xiàng)和進(jìn)行證明．

解答：解：（1）f′（x）=2n•

2x

2 1+x2

-1=

2nx

1+x2

-1，由f′（x）=0，得2nx=

1+x2

，兩邊平方并解出x=

1

4n2-1

，
當(dāng)x＞

1

4n2-1

時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)0＜x

1

4n2-1

時(shí)，f′（x）＜0，所以最小值是a_n=f（

1

4n2-1

）=

4n2-1

（2）b_n=

4

a 2 n +1

=

1

n2

，
當(dāng)n=1時(shí)，b1=1＜

5

3

．
當(dāng)n=2時(shí)，b₁+b₂+=1+

1

4

=

5

4

＜

5

3

當(dāng)n≥3時(shí)，b₁+b₂+…+b_n=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

=1+（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+

1

(n-1)

-

1

n

=2-

1

n

，
∵

1

n

≥

1

3

，∴2-

1

n

≤2-

1

3

=

5

3

，即當(dāng)n≥3時(shí)不等式也成立．
綜上所述，不等式對于任意正整數(shù)都成立．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)、數(shù)列與不等式的綜合，考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，考查不等式的證明，考查放縮法的運(yùn)用，有一定的難度．