Question

【題目】已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離相等.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由拋物線的定義可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，即可求解.

（2）由點(diǎn)斜式求出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，利用韋達(dá)定理即可求得三角形的面積.

解：（1）設(shè)，

∵動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，

∴點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，

由拋物線定義得：點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、直線為準(zhǔn)線的拋物線.

設(shè)拋物線方程為，可得：

，.

∴拋物線的方程為，即為點(diǎn)的軌跡方程.

（2）由直線的斜率為1，

可得直線的方程為，即.

與聯(lián)立，消去，整理得.

設(shè)，，則，，

∴，

因此的面積:

.