Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求在區間的最大值；

（2）若函數有兩個極值點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當時，的最大值為；當時，的最大值為；（2）證明見解析；

【解析】

（1）求導，對參數進行分類討論，由函數單調性即可容易求得最值；

（2）根據極值點的定義，求得之間的關系以及參數的范圍，構造函數，將問題轉化為求該函數的最值問題，再進行適當放縮即可證明.

（1）由已知得的定義域為，

，

當時，，在上單調遞增，的最大值為.

當時，在上單調遞增，在單調遞減，

的最大值為.

綜上，當時，的最大值為，

當時，的最大值為.

（2），則的定義域為，

.

若有兩個極值點，則方程的判別式

且，因而，

又，∴，即，

設，其中，

由 得，由于，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

即的最大值為，

從而成立.