Question

已知函數(shù)f（x）=2x³-3（k+1）x²+1（x∈R）
（1）若該函數(shù)在x=-1處取得極值，求實數(shù)k的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）在[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）若該函數(shù)在x=-1處取得極值，則f′（-1）=0，代入可得k值；
（2）根據(jù)（1）中的導(dǎo)函數(shù)，分k=-1，k＜-1和k＞-1三種情況分別討論導(dǎo)函數(shù)的符號，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）結(jié)合（2）中函數(shù)的單調(diào)性，分k=-1，k＜-1，-1＜k＜0和k≥0四種情況討論函數(shù)的最值．

解答：解：（1）∵f（x）=2x³-3（k+1）x²+1
∴f′（x）=6x²-6（k+1）x
∵該函數(shù)在x=-1處取得極值，
∴f′（-1）=6+6（k+1）=0
解得：k=-2
（2）①當(dāng)k=-1時，f′（x）=6x²≥0恒成立，f（x）在R上是增函數(shù)；
②當(dāng)k＜-1時，當(dāng)x∈（-∞，k+1）∪（0，+∞）時，f′（x）＞0
當(dāng)x∈（k+1，0）時，f′（x）＜0
故此時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，k+1），（0，+∞）
單調(diào)減區(qū)間為（k+1，0）
③當(dāng)k＞-1時，當(dāng)x∈（-∞，0）∪（k+1，+∞）時，f′（x）＞0
當(dāng)x∈（0，k+1）時，f′（x）＜0
故此時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），（k+1，+∞）
單調(diào)減區(qū)間為（0，k+1）
（3）由（2）中結(jié)論可得：
①當(dāng)k=-1時，f_min（x）=f（0）=1；
②當(dāng)k＜-1時，f_min（x）=f（0）=1
③當(dāng)-1＜k＜0時，f_min（x）=f（k+1）=-（k+1）³+1
④當(dāng)k≥0時，f_min（x）=f（1）=-3k

點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，其中本題中要注意分類討論時，對分類標(biāo)準(zhǔn)的合理選擇．