Question

已知兩點F′（-2，0），F（2，0），點P為坐標平面內的動點，且滿足|

F′F

||

FP

|+

F′F

•

F′P

=0．
（1）求動點P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過點F的直線l與軌跡C和⊙F：（x-2）²+y²=1交于四點，自下而上依次記這四點為A、B、C、D，求

AB

•

CD

的最小值．

Answer 1

分析：（1）由

F′F

=(4，0)，

F′P

=(x+2，y)，得4•

(x-2)2+y2

+4(x+2)=0，化簡得軌跡C的方程．
（2）設直線l的方程為x=my+2，A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），聯立方程得

x=my+2 y2=8x

⇒y2-8my-16=0，由韋過定理和根的判別式能夠導出當m=0時，即直線l的方程為x=2，

AB

•

CD

的最小值為9．

解答：解：（1）

F′F

=(4，0)，

F′P

=(x+2，y)
依題意得4•

(x-2)2+y2

+4(x+2)=0，
化簡得y²=8x
（2）設直線l的方程為x=my+2，A（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
聯立方程得

x=my+2 y2=8x

⇒y2-8my-16=0，
∴

y1+y2=8m y1•y2=-16

∵△≥0即（8m）²-4•（-16）≥0恒成立
∴

AB

•

CD

=|

AB

||

CD

|=(x1+2-1)(x2+2-1)=(x1+1)(x2+1)
=（my₁+3）（my₂+3）=m²y₁y₂+3m（y₁+y₂）+9
=-16m²+24m²+9=8m²+9，
當m=0時，即直線l的方程為x=2，

AB

•

CD

的最小值為9．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．