Question

（2012•黃浦區二模）已知定點F（2，0），直線l：x=-2，點P為坐標平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為點Q，且

FQ

⊥(

PF

+

PQ

)．
（1）求動點P所在曲線C的方程；
（2）直線l₁過點F與曲線C交于A、B兩個不同點，求證：

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

2

；
（3）記

OA

與

OB

的夾角為θ（O為坐標原點，A、B為（2）中的兩點），求cosθ的最小值．

Answer 1

分析：（1）確定向量的坐標，利用

FQ

⊥(

PF

+

PQ

)，得

FQ

•(

PF

+

PQ

)=0，由此可求曲線C的方程；
（2）設直線l₁的方程為x=my+2與拋物線方程聯立，利用韋達定理，結合

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

x1+2

+

1

x2+2

，即可證得結論；
（3）確定

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），利用cosθ=

OA • OB

| OA || OB |

，可求cosθ的取值范圍．

解答：（1）解：設動點P（x，y）．依據題意，可得
Q(-2，y)，

FQ

=(-4，y)，

PF

=(2-x，-y)，

PQ

=(-2-x，0)．　　　　（3分）
又

FQ

⊥(

PF

+

PQ

)，
于是，

FQ

•(

PF

+

PQ

)=0，即y²=8x（x≥0）．　　　　　　　　　　　　　　　　　（6分）
因此，所求動點P的軌跡方程為C：y²=8x（x≥0）．
（2）證明：∵直線l₁過F點且與曲線C交于不同的A、B兩點，
∴l₁的斜率不為零，故設l₁：x=my+2．                       　　　　　　　　　   （7分）
聯立方程組

y2=8x x=my+2

得y²-8my-16=0．（8分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y1+y2=8m y1y2=-16

，進一步得

x1+x2=8m2+4 x1x2=4.

（10分）
又∵曲線C：y²=8x（x≥0）的準線為：x=-2，
∴左邊=

1

|FA|

+

1

|FB|

=

1

x1+2

+

1

x2+2

=

4+x1+x2

x1x2+2(x1+x2)+4

=

1

2

=右邊．　　　　　　　　　　　　（12分）
∴

1

|FA|

+

1

|FB|

=

1

2

．證畢！
（3）解：由（2）可知，

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)．
∴cosθ=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

x1x2+y1y2

x 2 1 + y 2 1 • x 2 2 + y 2 2

=

-12

x 2 1 +8x1 • x 2 2 +8x2

=

-6

100+64m2

≥-

3

5

（當且僅當m=0時，等號成立）．　　　　　（16分）
∴(cosθ)min=-

3

5

．                                                              （18分）

點評：本題考查向量知識的運用，考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查計算能力，屬于中檔題．