Question

設a，b∈(0，

π

2

)且cosa=a，sin（cosb）=b則a，b的大小為（　　）

A．a＜b

B．a≤b

C．b＜a

D．b≤a

Answer 1

分析：由a，b∈(0，

π

2

)可得0＜cosa＜1，結合已知可得sin（cosa）=sina，sin（cosb）=b，結合正弦函數的性質可知，sinx＜x對于任意的x∈（0，

1

2

π）都成立，則有sin（cosa）＜cosa=a，sin（cosb）=b，利用反證法證明a，b的大小關系即可

解答：解：∵a，b∈(0，

π

2

)
∴0＜cosa＜1
∵cosa=a，sin（cosb）=b
∴sin（cosa）=sina，sin（cosb）=b
由正弦函數的性質可知，sinx＜x對于任意的x∈（0，

1

2

π）都成立
∴sin（cosa）＜cosa=a，sin（cosb）=b
①假設a=b，則cosa=cosb，sin（cosa）=sin（cosb）與sin（cosa）＜cosa=a=sin（cosb）=b矛盾
②假設a＜b則，0＜cosb＜cosa＜1，
∴sin（cosa）＞sin（cosb）
∵sin（cosa）＜cosa=a，sin（cosb）=b
∴a＞sin（cosa）＞sin（cosb）=b即a＞b矛盾
綜上可得假設錯誤，則a＞b
故選：C

點評：本題主要考查了正弦函數與余弦函數在（0，

1

2

π）的單調性的應用，正弦函數的性質sinx＜x對于任意的x∈（0，

1

2

π）都成立的應用是解決本題的關鍵，另外還要注意反證法在解決本題中的應用．