Question

如圖，一座圓拱橋，當水面在m位置時，拱頂離水面2米，水面寬12米．當水面下降1米后水面寬多少米？

Answer 1

分析：先根據題目條件建立適當的直角坐標系，得到各點的坐標，通過設圓的半徑，可得圓的方程，然后將點的坐標代入確定圓的方程，設當水面下降1米后可設A′的坐標為（x₀，-3）（x₀＞0）根據點在圓上，可求得x₀的值，從而得到問題的結果．

解答：解：以圓拱拱頂為坐標原點，以過拱頂頂點的豎直直線為y軸，建立直角坐標系，
設圓心為C，水面所在弦的端點為A，B，則由已知可得：A（6，-2），
設圓的半徑為r，則C（0，-r），即圓的方程為x²+（y+r）²=r²
將A的坐標代入圓的方程可得r=10
所以圓的方程是：x²+（y+10）²=100
則當水面下降1米后可設A′的坐標為（x₀，-3）（x₀＞0）
代入圓的方程可得x₀=

51

，
所以當水面下降1米后，水面寬為2

51

米．

點評：本題考查了圓的方程的綜合應用，以及點在圓上的條件的轉化，圓的對稱性的體現，是個基礎題．