Question

已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.試對(duì)雙曲線C′：寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明.

Answer 1

思路解析：本題要求根據(jù)橢圓所具有的性質(zhì)歸納猜想對(duì)應(yīng)的雙曲線所具有的類似性質(zhì)，并予以證明，在證明時(shí)容易想到先假設(shè)相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而表示出相關(guān)直線的斜率,由此得出結(jié)論.

解：類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.

    設(shè)點(diǎn)M(m,n)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-m,-n)，其中.

    又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x₀,y₀)，由k_PM=，k_PN=，

得k_PM×k_PN=×=，將y₀²=x₀²-b²,n²=m²-b²，代入得k_PM×k_PN=×==.