Question

已知橢圓具有性質：若A是橢圓C的一條與x軸不垂直的弦的中點，那么該弦的斜率等于點A的橫、縱坐標的比值與某一常數的積．試對雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

Answer 1

分析：涉及中點弦問題，可使用點差法解決，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），中點為A（m，n），代入雙曲線方程作差即可得直線斜率與中點原點連線斜率之間的關系．

解答：解：雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1具有類似于橢圓的性質：若A是雙曲線C的一條與x軸不垂直的弦的中點，那么該弦的斜率等于點A的橫、縱坐標的比值與某一常數的積．
證明：設弦的兩個端點是M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），的中點為A（m，n）
則有：

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x22

a2

-

y22

b2

=1，兩式相減得：

x22-x12

a2

-

y22-y12

b2

=0⇒

(x2+x1)(x2-x1)

a2

-

(y2+y1)(y2-y1)

b2

=0
而x2+x1=2m，y2+y1=2n，kMN=

y2-y1

x2-x1

，
代入上式得：kMN=

m

n

•

b2

a2

，(

b2

a2

為常數)，得證．

點評：本題考查了類比推理、直線與雙曲線的位置關系，特別是當直線與曲線相交并且與弦的中點有關時，可以使用聯立方程組的辦法，也可采用點差法．