Question

【題目】已知函數(shù)，，其中且，.

（I）若，且時(shí)，的最小值是－2,求實(shí)數(shù)的值；

（II）若，且時(shí)，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）（II）

【解析】

試題分析：（I）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得，因此當(dāng)時(shí)，的最小值是－2，等價(jià)于最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值是－2，等價(jià)于最大值為；再根據(jù)對(duì)勾函數(shù)可得，，因此有或，解得（II）不等式恒成立問(wèn)題，一般利用變量分離轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題：

，求二次函數(shù)最值可得實(shí)數(shù)的取值范圍

試題解析：解：（I）∵，

∴

，

易證在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，

∴，，

∴當(dāng)時(shí)，，由，解得（舍去）

當(dāng)時(shí)，，由，解得.

綜上知實(shí)數(shù)的值是.

（II）∵恒成立，即恒成立，

∴.

又∵，，∴，

∴恒成立，

∴.

令，

∴.

故實(shí)數(shù)的取值范圍為.