Question

設非空集合S={x|m≤x≤n}滿足：當x∈S時，有x²∈S，給出如下三個命題：
①若m=1則S={1}； 
②若m=-，則≤n≤1；  
③若n=，則-≤m≤0．
其中正確的命題的個數為（ ）
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：由定義設非空集合S={x|m≤x≤n}滿足：當x∈S時，有x²∈S，當x=n時，n²∈S即n²≤n，解得0≤n≤1，當x=m時，m²∈S即m²≥m，解得m≤0，或m≥1．令m=1，根據m的范圍，可判斷①的真假；令m=-，由m²=∈S得≤n，結合n的取值范圍，可判斷②的真假；令n=，根據m²∈S，可得，解不等式組，求出m的范圍，可判斷③的真假．
解答：解：由定義設非空集合S={x|m≤x≤n}滿足：當x∈S時，有x²∈S，當x=n時，n²∈S即n²≤n，解得0≤n≤1
當x=m時，m²∈S即m²≥m，解得m≤0，或m≥1
若m=1，由1=m≤n≤1，可得m=n=1，即S={1}，故①正確；
②m=-，m²=∈S，即≤n，故≤n≤1，故②正確；
對于③若n=，由m²∈S，可得解得-≤m≤0，故③正確；
故選D
點評：本小題考查集合的運算及不等式和不等式組的解法．屬于創新題，解答的關鍵是對新定義的概念的正確理解，列出不等關系轉化為不等式問題解決．