Question

設非空集合S={x|m≤x≤n}滿足：當x∈S時，有x²∈S，給出如下三個命題：
①若m=1則S={1}； 
②若m=-

1

2

，則

1

4

≤n≤1；  
③若n=

1

2

，則-

2

2

≤m≤0．
其中正確的命題的個數為（　　）

Answer 1

分析：由定義設非空集合S={x|m≤x≤n}滿足：當x∈S時，有x²∈S，當x=n時，n²∈S即n²≤n，解得0≤n≤1，當x=m時，m²∈S即m²≥m，解得m≤0，或m≥1．令m=1，根據m的范圍，可判斷①的真假；令m=-

1

2

，由m²=

1

4

∈S得

1

4

≤n，結合n的取值范圍，可判斷②的真假；令n=

1

2

，根據m²∈S，可得

m≤0，或m≥1 m2≤ 1 2 m≤ 1 2

，解不等式組，求出m的范圍，可判斷③的真假．

解答：解：由定義設非空集合S={x|m≤x≤n}滿足：當x∈S時，有x²∈S，當x=n時，n²∈S即n²≤n，解得0≤n≤1
當x=m時，m²∈S即m²≥m，解得m≤0，或m≥1
若m=1，由1=m≤n≤1，可得m=n=1，即S={1}，故①正確；
②m=-

1

2

，m²=

1

4

∈S，即

1

4

≤n，故

1

4

≤n≤1，故②正確；
對于③若n=

1

2

，由m²∈S，可得

m≤0，或m≥1 m2≤ 1 2 m≤ 1 2

解得-

2

2

≤m≤0，故③正確；
故選D

點評：本小題考查集合的運算及不等式和不等式組的解法．屬于創新題，解答的關鍵是對新定義的概念的正確理解，列出不等關系轉化為不等式問題解決．