Question

a從-1、1、2中任取一個數，b從-1、0、1中任取一個數．
（I）求函數f（x）=

1

2

ax2+bx+1有零點的概率；
（II）求使兩個不同向量

m

=(a，1)，

n

=(1，-b)的夾角θ為銳角的概率．

Answer 1

分析：（1）先用列舉法得出基本事件的總數，再根據二次函數有零點的充要條件即可得出函數f（x）=

1

2

ax2+bx+1有零點的事件的個數，從而求出其概率；
（2）兩個不同向量

m

=(a，1)，

n

=(1，-b)的夾角θ為銳角?

m • n ＞0 m 與 n b不共線

，解出即可．

解答：解：設點P（a，b），共有9個：（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（1，-1），（1，0），（1，1），（2，-1），（2，0），（2，1）．
（Ⅰ）記f(x)=

1

2

ax2+bx+1有零點為事件A．
∵f(x)=

1

2

ax2+bx+1有零點，a≠0．
∴△≥0，化為b²≥2a，
故滿足條件的（a，b）有3個，分別為（-1，-1），（-1，0），（-1，1）．
∴概率P（A）=

3

9

=

1

3

．
（2）記兩個不同向量

m

=(a，1)，

n

=(1，-b)的夾角θ為銳角為事件B．
∴

m • n ＞0 m 與 n b不共線

，化為

a＞b -ab≠1

，
故符合條件的P（a，b）共有4個：（1，0），（2，-1），（2，0），（2，1）．
∴P（B）=

4

9

．

點評：根據具體問題正確求出基本事件和要求事件的個數是解題的關鍵．