Question

函數f（x）=4x³+ax²+bx+5的圖象在x=1處的切線方程為y=-12x，
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）根據導數的幾何意義求出函數在x=1處的導數，從而得到切線的斜率，建立等式關系，再根據切點在函數圖象建立等式關系，解方程組即可求出a和b，從而得到函數f（x）的解析式；
（2）由（Ⅰ）得f'（x），令f′（x）＞0和令f′（x）＜0，即可求出函數f（x）的單調區間．

解答：解：（1）f′（x）=12x²+2ax+b，f′（1）=12+2a+b=-12．①
又x=1，y=-12在f（x）的圖象上，
∴4+a+b+5=-12．②
由①②得a=-3，b=-18，
∴f（x）=4x³-3x²-18x+5．
（2）f′（x）=12x²-6x-18=令f'（x）＜0，得：12x²-6x-18＜0，
可得-1＜x＜

3

2

，
∴函數f（x）的單調減區間為(-1，

3

2

)．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及導函數的正負與原函數的單調性之間的關系等基礎題知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想，屬于基礎題．