Question

設函數在上滿足，，且在閉區間［0，7］上，只有．

（Ⅰ）試判斷函數的奇偶性；

（Ⅱ）試求方程=0在閉區間［-2005，2005］上的根的個數，并證明你的結論．

Answer 1

.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數的對稱軸為,

從而知函數不是奇函數,

由

,從而知函數的周期為

又,故函數是非奇非偶函數;

(II)由

(II) 又

故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有兩個解,從而可知函數在[0,2005]上有402個解,在[-2005.0]上有400個解,所以函數在[-2005,2005]上有802個解.