Question

9．已知橢圓$\frac{x^2}{4}$+y²=1，直線m與橢圓交于A、B兩點，線段AB的中點為M（1，$\frac{1}{2}$），求直線m的方程．

Answer 1

分析 設出A，B的坐標，代入橢圓方程，利用“點差法”求得AB所在直線的斜率，再由直線方程的點斜式得答案．

解答 解：由題：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，設直線m與橢圓的兩個交點坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
代入橢圓方程的得：$\frac{{{x_1}^2}}{4}+{y_1}^2=1，\frac{{{x_2}^2}}{4}+{y_2}^2=1$．
兩式相減得：$\frac{1}{4}（{x_1}+{x_2}）（{x_1}-{x_2}）=（{y_1}+{y_2}）（{y_2}-{y_1}），k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{1}{4}（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}）$，
另由中點坐標公式：x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，
則：$k=-\frac{1}{2}$
所以直線m方程為：y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1），即x+2y-2=0

點評 本題考查橢圓的簡單性質，訓練了“中點弦”問題的求解方法，是中檔題．