Question

設S_n為等差數列{a_n}的前n項和，T_n為等比數列{b_n}的前n項積．
（1）求證：數列S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等差數列，并給出更一般的結論（只要求給出結論，不必證明）；
（2）若T₁₀=10，T₂₀=20，求T₃₀的值？類比（1）你能得到什么結論？（只要求給出結論，不必證明）．

Answer 1

分析：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，則Sn=na1+

n(n-1)

2

d，由此能夠證明對于任意正整數k，數列S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，…成等差數列．
（2）Tn=b1nq

n(n-1)

2

，由T₁₀=10，T₂₀=20，得b₁¹⁰q⁴⁵=10，b₁²⁰q¹⁹⁰=20，得b110=10×5

9

20

，q5=(

1

5

)

1

20

，由此能夠證明數列T_k，

T2k

Tk

，

T3k

T2k

，…成等比數列．

解答：（1）證明：設等差數列{a_n}的公差為d，
則Sn=na1+

n(n-1)

2

d，
所以S10=10a1+

10×9

2

d=10a1+45d．
同理S₂₀=20a₁+190d，S₃₀=30a₁+435d．
所以，S₂₀-S₁₀=10a₁+145d，S₃₀-S₂₀=10a₁+245d，
所以，S₁₀+（S₃₀-S₂₀）=20a₁+290d=2（S₂₀-S₁₀），
所以，數列S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等差數列．  …（5分）
∴對于任意正整數k，數列S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，…成等差數列．…（7分）
（2）解：∵等比數列{b_n}的前n項積是T_n，
∴Tn=b1nq

n(n-1)

2

，
∵T₁₀=10，T₂₀=20，∴b₁¹⁰q⁴⁵=10，b₁²⁰q¹⁹⁰=20，
∴b110=10×5

9

20

，q5=(

1

5

)

1

20

，
故T30=b130q435=(10×5

9

20

)3×[(

1

5

)

1

20

]87=8．…（12分）
類比（1）能得到結論：對于任意正整數k，數列T_k，

T2k

Tk

，

T3k

T2k

，…成等比數列．…（14分）

點評：本題首先考查等差數列、等比數列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易錯點是計算繁瑣，容易失誤．解題時要認真審題，注意培養計算能力．