Question

（本小題共14分）函數，，.

（1）①試用含有的式子表示；②求的單調區間；

（2）對于函數圖像上的不同兩點，，如果在函數圖像上存在點（其中在與之間），使得點處的切線∥，則稱存在“伴隨切線”，當時，又稱存在“中值伴隨切線”。試問：在函數的圖像上是否存在兩點、，使得存在“中值伴隨切線”？若存在，求出、的坐標；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

 

（1），增區間為，減區間為

（2）不存在

【解析】解：（1）①  ∵  ∴ . （2分）

  ②  ∵，  ∴當時 ，

當時， 

∴增區間為，減區間為  

（2）不存在   （7分）  （反證法）

若存在兩點，，不妨設，則

曲線在的切線斜率

又

∴由得     ① 

法一：令 

∴在上為增函數   

又  ∴ 與①矛盾

∴不存在            （16分）

法二：令，則①化為    ②

令      ∵

∴在為增函數  

又 ∴此與②矛盾，∴不存在