Question

如圖，在棱錐P-ABCD中，側面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是菱形，且∠ADC=60°，M為PB的中點，
（1）求證：PA⊥CD；
（2）求二面角P-AB-D的大小；
（3）求證：平面CDM⊥平面PAB．

Answer 1

（1）證明，取CD中點O，連OA、OP，
∵面PCD⊥面ABCD，PO⊥CD，
∴PO⊥面ABCD，即AO為PA在面ABCD上的射影，
又在菱形ABCD中，∠ADC=60°，O為CD中點，DO=DA，
∴AO⊥CD，由三垂線定理得，PA⊥CD．
（2）∵PA⊥CD，OA⊥CD，PA∩0A=A，∴CD⊥平面PAO，
∵AB∥CD，∴AB⊥平面PAO，∴∠PAO是二面角P-AB-D的平面角．
∵PD=AD，∴Rt△POD≌Rt△AOD，∴PO=AO，∠AOP=45°，
所以二面角P-AB-D為45°．
（3）取PA中點N，連接MN，則MN∥AB，
又AB∥CD，∴MN∥CD，
又∵N∈平面CDM，DN?平面CDM，PD=AD，∴PA⊥DN，
又∵PA⊥CD，CD∩DN=D，∴PA⊥平面CDM，
又PA?平面PAB，∴平面CDM⊥平面PAB．
分析：（1）取CD中點O，連OA、OP，根據面PCD⊥面ABCD，PO⊥CD，得PO⊥面ABCD，即AO為PA在面ABCD上的射影，利用AO⊥CD，證明PA⊥CD．
（2）先求二面角P-AB-D的平面角，由（1）可證明AB⊥平面PAO，從而可知∠PAO是二面角P-AB-D的平面角，在Rt△PAO中可求∠PAO；
（3）取PA中點N，連接MN，要證明平面CDM⊥平面PAB，只需證明PA⊥平面CDM，從而可轉化為證明PA⊥DN，PA⊥CD．
點評：本題考查異面垂直、面面垂直的判定及二面角的求解，考查學生推理論證能力，考查轉化思想的運用，二面角的求解一般轉化為求其平面角，或用空間向量求解．