Question

（2013•河池模擬）一個四面體A-BCD中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，那么這個四面體的外接球的表面積為（　　）

• A．50π
• B．25π
• C．

  25π

  3

• D．

  50π

  3

Answer 1

分析：由四面體A-BCD相對的棱長度相等，將其放置于長方體中，如圖所示．由題意得該長方體的外接球就是四面體A-BCD的外接球，因此算出長方體的對角線長得到外接球的直徑，利用球的表面積公式加以計算，可得四面體A-BCD的外接球的表面積．

解答：解：將四面體A-BCD放置于長方體中，如圖所示．
∵四面體A-BCD的頂點為長方體八個頂點中的四個，
∴長方體的外接球就是四面體A-BCD的外接球，
∵AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，
∴長方體的對角線長為

1 2 (32+42+52)

=5，
可得外接球的直徑2R=5，所以R=

5

2

因此，外接球的表面積為S=4πR²=25π．
故選：B

點評：本題給出相對棱長相等的四面體，求它的外接球的表面積．著重考查了長方體的性質、長方體的對角線長公式和球的表面積公式等知識，屬于中檔題．