Question

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=－1相切，點(diǎn)C在l上.
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn). 問(wèn)：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由.

Answer 1

(1)   (2)不能

解析試題分析：(1)由拋物線的定義可得知,軌跡為拋物線, P（1，0）看作焦點(diǎn),直線l：x=－1看作準(zhǔn)線.從而得出軌跡方程.
(2) 先得出直線的方程,代入圓的方程中可求出直線與圓的交點(diǎn),再利用兩點(diǎn)間距離公式列出方程組,最后驗(yàn)證.
試題解析：(1)依題意,曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn),直線l為準(zhǔn)線的拋物線,     （2分）

所以曲線M的方程為,如上圖.     （4分）
(2)由題意得,直線的方程為
   （6分）
由 消去,得
解得   （10分）
存在這樣的C點(diǎn)，使得為以為兩腰的等腰三角形，
設(shè)則

解得   （13分）
但是不符合（1），所以上面方程組無(wú)解，因此直線l上不存在點(diǎn)C使得是正三角形   （14分）
考點(diǎn)：拋物線的有關(guān)知識(shí),兩點(diǎn)間的距離公式.