Question

過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左焦點作直線交橢圓于A、B兩點，若存在直線使坐標原點O恰好在以AB為直徑的圓上，則橢圓的離心率取值范圍是（　　）

• A．(0，

  3

  2

  ]
• B．[

  3

  2

  ，1)
• C．(0，

  5 -1

  2

  ]
• D．[

  5 -1

  2

  ，1)

Answer 1

分析：設l：x=-c+my代入橢圓方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁，y₂為整理后的方程的兩個根，利用韋達定理結合OA⊥OB，可得到a，b，c之間的關系式，從而可求得橢圓的離心率取值范圍．

解答：解：設l：x=-c+my代入橢圓方程得：

(-c+my)2

a2

+

y2

b2

=1，
整理得：（b²m²+a²）y²-2mcb²y-b⁴=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁，y₂為上述方程的兩個根，
∴y₁+y₂=

2mcb2

b2m2+a2

，y₁y₂=-

b4

b2m2+a2

，①
∵OA⊥OB，
∴（-c+my₁）（-c+my₂）+y₁y₂=0．
∴c²-mc（y₁+y₂）+（m²+1）y₁y₂=0，將①代入，整理得：
a²c²-（c²b²+b⁴）m²-b⁴=0，
∴（c²b²+b⁴）m²=a²c²-b⁴≥0，
∴a²c²≥（a²-c²）²，又e=

c

a

，
∴e⁴-3e²+1≤0，
∴

3- 5

2

≤e²≤

3+ 5

2

，而0＜e＜1，
∴

3- 5

2

≤e²＜1，
∴

5 -1

2

≤e＜1．
故選D．

點評：本題考查橢圓的性質，考查直線與橢圓的位置關系，突出考查韋達定理的作用，考查垂直關系的應用，考查抽象思維與綜合運算能力，屬于難題．