Question

已知二次函數f（x）=2x²-4（a-1）x-a²+2a+9，
（1）若在區間[-1，1]內至少存在一個實數m，使得f（m）＞0，求實數a的取值范圍；
（2）若對區間[-1，1]內的一切實數m都有f（m）＞0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）的對稱軸分別表示出f（1），f（-1）和f（a-1），進而根據在區間[-1，1]內至少存在一個實數m，使得f（m）＞0，推斷函數f（x）的最大值大于0，進而根據a＜1時和a≥1時的函數的最大值，求得a的范圍；
（2）依題意可知[f（x）]_min＞0，進而看0≤a≤2和a＞2時根據二次函數的單調性求得f（x）的最小值，進而求得a的范圍．

解答：解：∵f（x）的對稱軸x₀=a-1，而f（1）=-a²-2a+15，
f（-1）=-a²+6a+7，f（a-1）=-3a²+6a+7；
（1）命題?[f（x）]_max＞0，（x∈[-1，1]），
①當x₀＜0，即a＜1時，[f（x）]_max
=f（1）＞0?a²+2a-15＜0?-5＜a＜3，得-5＜a＜1；
②當x₀≥0，即a≥1時，[f（x）]_max
=f（-1）＞0?a²-6a-7＜0?-1＜a＜7，得1≤a＜7；
綜上，a的取值范圍是（-5，7）；
（2）命題?[f（x）]_min＞0（x∈[-1，1]），
①當x₀＜-1，即a＜0時，[f（x）]_min
=f（-1）＞0?-1＜a＜7，得-1＜a＜0；
②當-1≤x₀≤1，即0≤a≤2時，[f（x）]_min
=f（a-1）＞0?3a2-6a-7＜0?

3- 30

3

＜a＜

3+ 30

3

，
得0≤a≤2；
③當x₀＞1，即a＞2時，[f（x）]_min=f（1）＞0?-5＜a＜3，
得2＜a＜3；
綜上，a的取值范圍是（-1，3）．

點評：本題主要考查了函數與方程得綜合運用．考查了利用函數的單調性解決方程問題．