Question

已知等比數列{x_n}的各項為不等于1的正數，數列{y_n}滿足（a>2，且a¹1），設y₄=17，y₇=11．

（1）問數列{y_n}的前多少項的和為最大？最大值是多少？

（2）設b_n=，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求4的值；

（3）試判斷，是否存在正不整數M，使當n>M時，x_n>1恒成立，若存在，求出相應的M；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

（1），令xn=x1qn-1，∴ yn為等差數列．yn=y0n+k，由y4=17，y7=11，解得yn=25-2n．令yn³0，且yn+1<0，得．故{yn}的前12項和最大，S12=144． （2）{bn}是以223為首項，以為公比的等比數列，可得． （3）由（1）知，當n>12時，yn<0恒成立，由yn=2logaxn，得．（ⅰ）當0<a<1，且n>12時，有；（ⅱ）當a>1，且n>12時，有an<1．故當xn>1恒成立．