Question

（本小題滿分12分）

如圖，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D是AB的中點.

（1）求證AC⊥BC₁；

（2）求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值；

（3）求平面CDB₁與平面ABC的夾角的余弦值.

Answer 1

解：∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，

       ∴AC，BC，C₁C兩兩垂直.

       如圖，以C為坐標原點，直線CA，CB，CC₁分別為x軸，

       y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

       則C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），

       B₁（0，4，4），D（，2，0）. ………………2分

（1）

       ………………4分

（2）

      

       ∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為………………8分

（3）

設為平面CDB₁的法向量．

         由   得:    取 …………10分

                        

           又平面ABC的一個法向量．                       

           ∴．

所以平面CDB₁與平面ABC的夾角的余弦值是。…………12分