Question

已知函數＝＋有如下性質：如果常數＞0，那么該函數在0，上是減函數，在，＋∞上是增函數．

（1）如果函數＝＋（＞0）的值域為6，＋∞，求的值；

（2）研究函數＝＋（常數＞0）在定義域內的單調性，并說明理由；

（3）對函數＝＋和＝＋（常數＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例．研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數＝＋（是正整數）在區間[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）．

Answer 1

解(1) 函數y=x+(x>0)的最小值是2,則2=6, ∴b=log29.

  (2)設0< x₁< x₂, y₂－y₁=.

     當<x₁<x₂時, y₂>y₁, 函數y=在[,+∞)上是增函數；

     當0< x₁< x₂<時y₂< y₁, 函數y=在(0,]上是減函數.

   又y=是偶函數,于是,該函數在(－∞,－]上是減函數, 在[－,0)上是增函數.

   (3)可以把函數推廣為 y=(常數a>0),其中n是正整數.

   當n是奇數時,函數y=在(0,]上是減函數,在[,+∞) 上是增函數,

   在(－∞,－]上是增函數, 在[－,0)上是減函數.

   當n是偶數時,函數y=在(0,]上是減函數,在[,+∞) 上是增函數,

   在(－∞,－]上是減函數, 在[－,0)上是增函數.

   F(x)= +

  =

  因此F(x) 在 [,1]上是減函數,在[1,2]上是增函數.

  所以,當x=或x=2時, F(x)取得最大值()n+()n；

      當x=1時F(x)取得最小值2n+1.