Question

已知離心率為的雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上，雙曲線C的右支上一點(diǎn)A使且△F₁AF₂的面積為1，
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=kx+m與雙曲線C相交于E、F兩點(diǎn)（E、F不是左右頂點(diǎn)），且以EF為直徑的圓過(guò)雙曲線C的右頂點(diǎn)D，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）由題意，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由已知得：，
∵的面積為1，
∴，
∴，
∴b=1，a=2，
∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為。
（2）設(shè)，
聯(lián)立 ，
顯然，
否則直線l與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，
，
則，
又，
∵以EF為直徑的圓過(guò)雙曲線C的右頂點(diǎn)D(2，0)，
∴，
∴，
∴，
化簡(jiǎn)整理得，
∴，且均滿足，
當(dāng)時(shí)，直線l的方程為y=k（x-2），直線過(guò)定點(diǎn)（2，0），與已知矛盾；
當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)（，0）；
∴直線l定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）。