Question

如圖，設拋物線方程為x²=2py(p＞0),M為 直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.

（Ⅰ）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數列；

（Ⅱ）已知當M點的坐標為（2，-2p）時，，求此時拋物線的方程；

（Ⅲ）是否存在點M，使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線上，其中，點C滿足（O為坐標原點）.若存在，求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）證明見解析（2）拋物線方程為或⑶僅存在一點M(0，-2p)適合題意

解析:

（Ⅰ）證明：由題意設

         由得，則                   所以

         因此直線MA的方程為　　　

直線MB的方程為…………………2分

         所以①  ②

由①、②得　  因此　，即

所以A、M、B三點的橫坐標成等差數列. …………………4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當x₀=2時，  將其代入①、②并整理得：

         　　所以　x₁、x₂是方程的兩根，

         因此    又   

所以                                     …………………6分

         由弦長公式得

又， 所以p=1或p=2，

因此所求拋物線方程為或…………………8分

（Ⅲ）解：設D(x₃,y₃)，由題意得C(x₁+ x₂, y₁+ y₂),

          則CD的中點坐標為

         設直線AB的方程為

         由點Q在直線AB上，并注意到點也在直線AB上，

         代入得

         若D（x₃,y₃）在拋物線上，則

         因此　x₃=0或x₃=2x₀.

          即D(0，0)或    …………………10分

（1）當x₀=0時，則，此時，點M(0,-2p)適合題意. ………………11分

（2）當，對于D(0，0)，此時

         又AB⊥CD， 所以………………12分

即矛盾.

對于因為此時直線CD平行于y軸，

又

所以　　直線AB與直線CD不垂直，與題設矛盾，

所以時，不存在符合題意的M點.

綜上所述，僅存在一點M(0，-2p)適合題意. ………………………………14分