如圖,設拋物線方程為,
為直線
上任意一點,過
引拋物線的切線,切點分別為
.
(1)求證:三點的橫坐標成等差數列;
(2)已知當點的坐標為
時,
.求此時拋物線的方程。
(1)根據已知條件設出點A,B的坐標,,然后借助于拋物線的導數來得到斜率值,
.,進而解方程,得到證明。
(2)拋物線方程為或
.
【解析】
試題分析:(1)證明:由題意設.
由得
,得
,所以
,
.
因此直線的方程為
,
直線的方程為
.
所以,①
.②
由①減②得,因此
,即
.
所以 三點的橫坐標成等差數列.
6分
(2)由(1)知,當時,將其代入①、②并整理得:
,
,
所以是方程
的兩根,
因此,
,
又,所以
.
由弦長公式得.
又,所以
或
,
因此所求拋物線方程為或
. 12分
考點:直線與拋物線的位置關系
點評:解決的關鍵是利用直線與拋物線的相切得到切線的斜率,同時聯立方程組求解弦長,屬于中檔題。
科目:高中數學 來源: 題型:
10 |
OC |
OA |
OB |
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科目:高中數學 來源: 題型:
10 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
3 | 2 |
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科目:高中數學 來源:四川省成都外國語學院高三2010-2011學年9月月考數學試題(理科) 題型:解答題
如圖,設拋物線方程為直線
上任意一點,過M引拋物線的切線,切點分別為A,B。
(1)求證:A,M,B三點的橫坐標成等差數列;
(2)已知當M點的坐標為時,
,求此時拋物線的方程;
(3)是否存在點M,使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線上,其中,點C滿足
(O為坐標原點).若存在,求出所有適合題意的點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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