Question

如圖，在各棱長均為的三棱柱中，側面底面，．

（1）求側棱與平面所成角的正弦值的大小；

（2）已知點滿足，在直線上是否存在點，使？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1)（2）存在點，使，其坐標為，即恰好為點．

【解析】

試題分析：（1)∵側面底面，作于點，∴平面．

又，且各棱長都相等，∴，，．                       2分

故以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則

，，，，

∴，，．……4分

設平面的法向量為，則

解得．由．

而側棱與平面所成角，即是向量與平面的法向量所成銳角的余角，

∴側棱與平面所成角的正弦值的大小為          6分

（2）∵，而 

∴

又∵，∴點的坐標為．

假設存在點符合題意，則點的坐標可設為，∴．

∵，為平面的法向量，

∴由，得．        10分

又平面，故存在點，使，其坐標為，

即恰好為點．                12分

考點：本題考查了空間中的線面關系

點評：運用向量在解決立體幾何問題主要集中在法向量的應用上，它可以證明空間線面的位置關系、求解空間角、距離.同時運用空間向量解答立體幾何問題，淡化了傳統立體幾何中的“形”的推理方法，強化了代數運算，從而降低了思維難度