Question

已知二次函數f （x）=x²+mx+n對任意x∈R，都有f （-x）=f （2+x）成立，設向量

a

=（ sinx，2 ），

b

=（2sinx，

1

2

），

c

=（ cos2x，1 ），

d

=（1，2），
（Ⅰ）求函數f （x）的單調區間；
（Ⅱ）當x∈[0，π]時，求不等式f （

a

•

b

）＞f （

c

•

d

）的解集．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件f （-x）=f （2+x）可知f（x）的圖象關于直線x=1對稱，又由于函數圖象開口向上，故可求函數f （x）的單調區間；
（Ⅱ）利用函數的單調性將函數符號脫去，從而轉化為解三角不等式．

解答：解：（Ⅰ）設f（x）圖象上的兩點為A（-x，y₁）、B（2+x，y₂），
因為

(-x)+(2+x)

2

=1
f （-x）=f （2+x），所以y₁=y₂
由x的任意性得f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴x≥1時，f（x）是增函數；x≤1時，f（x）是減函數，
∴函數的單調增區間是[1，+∞）；單調減區間是（-∞，1]．
（Ⅱ）∵

a

•

b

=（sinx，2）•（2sinx，

1

2

）=2sin²x+1≥1，

c

•

d

=（cos2x，1）•（1，2）=cos2x+2≥1，
∵f（x）在是[1，+∞）上為增函數，
∴f （

a

•

b

）＞f （

c

•

d

）?f（2sin²x+1）＞f（cos2x+2）
?2sin²x+1＞cos2x+2?1-cos2x+1＞cos2x+2
?cos2x＜0?2kπ+

π

2

＜2x＜2kπ+

3π

2

，k∈z
?kπ+

π

4

＜x＜kπ+

3π

4

，k∈z
∵0≤x≤π，∴

π

4

＜x＜

3π

4

綜上所述，不等式f （

a

•

b

）＞f （

c

•

d

）的解集是：{ x|

π

4

＜x＜

3π

4

}．

點評：本題主要考查函數的對稱性，利用函數的單調性，求解三角不等式，有一定的綜合性．