Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，和均為等邊三角形，且平面平面，點為中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若的面積為,求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】分析：（Ⅰ）證明線面平行，需在平面內構造一條線平行于已知直線，將直線沿平移，點至點處，則點應移至中點處，故取中點，連接、.

若證，則需證明、平行且相等，、需要以作為中間量.

（Ⅱ）根據兩個等邊三角形和面面垂直，假設一邊長為x，表示的面積，解出x，求出三棱錐底面的面積.

因為為中點，所以三棱錐底面上的高為到底面距離的一半.

詳解：（1）取的中點，連接，；取的中點,連接，

因為是正三角形，所以.

因為，所以四邊形為矩形，

從而，.

因為為的中位線,

所以，，即，，

所以四邊形是平行四邊形，從而，

又面，所以面.

（2）取的中點，連接，則.

過點作交于.

因為，面面，面面

所以面.又因為面，所以.

又因為，，面，.

所以面，又因為面，所以.

由于為中點,易知.

設，則的面積為，

解得，從而，

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