Question

設函數f（x）=ax²-xlnx-（2a-1）x+a-1（a∈R）
（1）當a=0時，求函數f（x）在點P（e，f（e））處的切線方程；
（2）對任意的x∈[1，+∞），函數f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）把a=0代入函數解析式，求導后得到函數在點P（e，f（e））處的切線的斜率，然后利用直線方程的點斜式得答案；
（2）由f（x）≥0，得ax²-xlnx-（2a-1）x+a-1≥0，求出函數的導函數，導函數在x=1處，的導數為0，然后由導函數的導函數在[1，+∞）上大于0求得a的范圍，就是滿足函數f（x）≥0恒成立的實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）a=0時，f（x）=-xlnx+x-1，
f′（x）=-lnx，∴f′（e）=-lne=-1，
又f（e）=-elne+e-1=-1，
∴函數f（x）在點P（e，f（e））處的切線方程為：y+1=-1×（x-e），即x+y+1-e=0；
（2）由f（x）≥0，得ax²-xlnx-（2a-1）x+a-1≥0，
f′（x）=2ax-2a-lnx，令g（x）=2ax-2a-lnx，
則g′(x)=2a-

1

x

=

2ax-1

x

，
∵f′（1）=0，
∴只要g′（x）≥0，就有g（0）≥0，且g（x）單調遞增，即f（x）≥f（1）=0．
∴2ax-1≥0，a≥

1

2

．
∴實數a的取值范圍是[

1

2

，+∞）．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數求函數的最值，二次求導是解答該題的關鍵，是中檔題．