Question

已知f（x）=m-

1

1+ax

（a＞0且a≠1，x∈R）滿足f（-x）=-f（x）
（1）求m的值；
（2）當a=2時，求f（1）的值，并解不等式0＜f（x²-x-2）＜

1

6

（3）沿著射線y=-x（x≥0）的方向將f（x）的圖象平移

2

2

個單位，得到g（x）的圖象，求g（x）并求g（-2）+g（-1）+g（0）+g（1）+g（2）+g（3）的值．

Answer 1

分析：（1）利用函數是奇函數的條件進行求值．（2）利用函數的單調性解不等式．（3）利用條件得到一個關系式，利用關系式進行求值．

解答：解：（1）因為f（-x）=-f（x），所以函數為奇函數，所以f(0)=m-

1

2

=0，解得m=

1

2

．
（2）當a=2時，f(x)=

1

2

-

1

1+2x

，所以f(1)=

1

2

-

1

3

=

1

6

．
根據指數函數的性質可知函數f(x)=

1

2

-

1

1+2x

，在R上單調遞增．
所以由0＜f（x²-x-2）＜

1

6

，得0＜f（x²-x-2）＜f（1），
即0＜x²-x-2＜1，
解得

1- 3

2

＜x＜-1或2＜x＜

1+ 3

2

，
所以不等式的解集為得{x|

1- 3

2

＜x＜-1或2＜x＜

1+ 3

2

}．
（3）根據題意可知g（x）=-

a

a +ax

，并且滿足g（x）+g（1-x）=-1，
所以g（-2）+g（-1）+g（0）+g（1）+g（2）+g（3）=-3．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用以及函數單調性的應用，考查學生的運算能力．