Question

已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-2．若同時滿足條件：
（1）?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
（2）?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
則m的取值范圍是（　　）

A．（-4，0）

B．（-∞，-2）

C．（-4，-2）

D．?

Answer 1

分析：由（1）可推得f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1時恒成立，建立關于m的不等式組可得m的范圍，然后由（2）可得：?x∈（-∞，-4），使（x-2m）（x+m+3）＜0成立，只要使-4比2m，-m-3中較小的一個大即可，分類討論可得m的范圍，綜合可得．

解答：解：∵g（x）=2^x-2，當x≥1時，g（x）≥0，
又∵?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1時恒成立
所以二次函數圖象開口只能向下，且與x軸交點都在（1，0）的左側，
即 

m＜0 -m-3＜1 2m＜1

，解得-4＜m＜0；
又因為?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
而此時有g（x）=2^x-2＜0．
∴?x∈（-∞，-4），使f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0成立，
由于m＜0，所以?x∈（-∞，-4），使（x-2m）（x+m+3）＜0成立，
故只要使-4比2m，-m-3中較小的一個大即可，
當m∈（-1，0）時，2m＞-m-3，只要-4＞-m-3，解得m＞1與m∈（-1，0）的交集為空集；
當m=-1時，兩根為-2；-2＞-4，不符合；
當m∈（-4，-1）時，2m＜-m-3，∴只要-4＞2m，解得m＜-2，
綜上可得m的取值范圍是：（-4，-2）
故選C

點評：本題為二次函數和指數函數的綜合應用，涉及數形結合的思想，屬中檔題．