Question

已知A、B、C是直線l上的三點，O是直線l外一點，向量

OA

、

OB

、

OC

滿足

OA

=[f（x）+2f′（1）]

OB

-ln（x+1）

OC

．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的表達式；
（Ⅱ）若x＞0，證明：f（x）＞

2x

x+2

；
（Ⅲ）若不等式

1

2

x²≤f（x²）+m²-2m-3對x∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用從同一點出發終點在一條線上的三向量間的關系得到f（x）+2f'（1）-ln（x+1）=1，再求出y=f（x）的表達式，進而求出f'（1），找到f（x）=ln（x+1）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-

2x

x+2

，利用導函數找出g（x）在（0，+∞）上的單調性，可得結論．
（Ⅲ）h（x）=

1

2

x2-f(x2)，轉化為找h（x）在x∈[-1，1]上的最大值，讓找出的最大值小于等于m²-2m-3即可．

解答：解：（Ⅰ）∵

OA

=[f（x）+2f'（1）]

OB

-ln（x+1）

OC

，且A、B、C在直線l上，
∴f（x）+2f'（1）-ln（x+1）=1，（2分）
∴y=f（x）=ln（x+1）+1-2f'（1），f'（x）=

1

x+1

，于是f'（1）=

1

2

，
∴f（x）=ln（x+1）（4分）

（Ⅱ）令g（x）=f（x）-

2x

x+2

，由g'（x）=

1

x+1

-

2(x+2)-2x

(x+2)2

=

x2

(x+1)(x+2)2

，
以及x＞0，知g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上為增函數，又g（x）在x=0處右連續，
∴當x＞0時，得g（x）＞g（0）=0，∴f（x）＞

2x

x+2

（8分）

（Ⅲ）原不等式等價于

1

2

x2-f(x2)≤m2-2m-3，
令h（x）=

1

2

x2-f(x2)=

1

2

x2-ln(1+x2)，則h'（x）=x-

2x

1+x2

=

x3-x

1+x2

，（10分）
∵x∈（-1，0）時，h'（x）＞0，x∈（0，1）時，h'（x）＜0，
∴h（x）在（-1，0）為增函數，在（0，1）上為減函數，（11分）
∴當x∈[-1，1]時，h（x）_max=h（0）=0，從而依題意有0≤m²-2m-3，
解得m≥3或m≤-1，故m的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）（12分）

點評：本題是函數和向量的一道綜合題，在解題過程中用到從同一點出發終點在一條線上的三向量間的關系，即系數和為1這一結論．而后兩問都用到了利用導函數求原函數的單調性，這是一道中檔難度的題．