Question

【題目】已知動圓過定點，且在軸上截得弦的長為4。

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）設，過點斜率為的直線交軌跡于兩點， 的延長線交軌跡于兩點。

①若的面積為3，求的值。

②記直線的斜率為，證明： 為定值，并求出這個定值。

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ①2. ②2.

【解析】試題分析：（1）設圓心，過點作軸，垂足為，則，根據，根據兩點之間的距離公式化簡即可，需驗證，即可得出圓心的軌跡的方程；（2）設直線的方程為， ，聯立直線與曲線的方程，結合韋達定理得出， ；①表示出，化簡即可解出；②設，表示出， ，根據共線，即可求出與的關系，同理可得的坐標，從而表示出，即可得到為定值.

試題解析：（1）設圓心，過點作軸，垂足為，則.

∴

∴，化簡為：.

當時，也滿足上式.

∴動圓圓心的軌跡的方程為。

（2）設直線的方程為， ，

由，得，

， .

①，解得.

②設，則， .

∵共線

∴，即，解得： （舍）或.

∴，同理，

∴

∴（定值）