Question

設函數f（x）=sinxcosx+cos²x+a
（I）寫出函數f（x）的最小正周期及單調遞減區間；
（II）當x∈時，函數f（x）的最大值與最小值的和為，解不等式f（x）＞1．

Answer 1

解：f（x）=sinxcosx+cos²x+a
=
=sin（2x+）+a+
（I）所以T=．
由，得．
所以f（x）的單調遞減區間是[]（k∈Z）．
（II）因為，所以，
所以．
當x時，f（x）_max+f（x）_min=（1+a+）+（-+a+）=，
解得a=0，所以f（x）=sin（2x+）+．
由f（x）＞1得，
所以
解得．
分析：由正余弦的倍角公式及正弦的和角公式把函數轉化為y=Asin（ωx+φ）+B的形式；
（I）由y=Asin（ωx+φ）+B的性質易于解決；
（II）當x∈時，先表示出f（x）的最值，再解得a，最后結合正弦函數的圖象解得答案．
點評：本題考查倍角公式、和角公式及函數y=Asin（ωx+φ）+B的性質，同時考查轉化思想．