Question

如圖，某新建小區有一片邊長為1（單位：百米）的正方形剩余地塊ABCD，中間部分MNK是一片池塘，池塘的邊緣曲線段MN為函數的圖象，另外的邊緣是平行于正方形兩邊的直線段．為了美化該地塊，計劃修一條穿越該地塊的直路（寬度不計），直路l與曲線段MN相切（切點記為P），并把該地塊分為兩部分．記點P到邊AD距離為t，f（t）表示該地塊在直路左下部分的面積．
（1）求f（t）的解析式；
（2）求面積S=f（t）的最大值．

Answer 1

解：（1）因為，所以，又P（t，），
所以過點P的切線方程為，即，
令x=0，得，令y=0，得x=2t．
所以切線與x軸交點E（2t，0），切線與y軸交點．
①當，即時，切線左下方的區域為一直角三角形，
所以；
②當，即時，切線左下方的區域為一直角梯形，
；
③當，即時，切線左下方的區域為一直角梯形，
所以．
綜上．
（2）當時，=，
當時，=，
所以．
所以面積S=f（t）的最大值為．
分析：（1）求出函數的導函數，寫出經過P（t，）的切線方程并得到切線在兩坐標軸上的截距，然后根據兩截距與1的關系對t分類，求出t在不同范圍內的切線左下方的面積，則分段函數的解析式可求；
（2）直接利用二次函數的單調性求各區間段內函數的最值，然后各段內最大值的最大者．
點評：本題考查了函數模型的選擇與應用，考查了分類討論的數學思想方法，訓練了利用二次函數的單調性求函數的最值，需要注意的是分段函數的最值要分段求，屬中檔題．