Question

設m＞3，對于有窮數列{a_n}（n=1，2，3…，m），令b_k為a₁，a₂…a_k中的最大值，稱數列{b_n}為{a_n}的“創新數列”．數{b_n}中不相等項的個數稱為{a_n}的“創新階數”．例如數列2，1，3，7，5的創新數列為2，2，3，7，7，創新階數為3．
考察自然數1，2…m（m＞3）的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列{c_n}．
（Ⅰ）若m=5，寫出創新數列為3，4，4，5，5的所有數列{c_n}；
（Ⅱ） 是否存在數列{c_n}，使它的創新數列為等差數列？若存在，求出所有的數列{c_n}，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）在創新階數為2的所有數列{c_n}中，求它們的首項的和．

Answer 1

分析：（I）根據b_k為a₁，a₂…a_k中的最大值，稱數列{b_n}為{a_n}的“創新數列”，可得數列3，4，1，5，2與數列3，4，2，5，1的“創新數列”為3，4，4，5，5；
（II）設數列{c_n}的創新數列為{e_n}（n=1，2，3…，m），{e_n}為等差數列，設其公差為d，討論d=0，d=1，以及當d=2時，因為e_m=e₁+（m-1）d=2m-2+e₁，又m＞3，e₁＞0，所以e_m＞m，這與e_m=m矛盾，所以此時{e_n}不存在，即不存在{c_n}使得它的創新數列為d=2的等差數列，從而得到結論；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，e_m=m，由題意，得e₁=c₁，所以當數列{c_n}的創新階數為2時，{e_n}必然為c₁，c₁，…c₁，m，m…m（其中c₁＜m）由排列組合知識，得創新數列為k，k，…，k，m，m…，m的符合條件的{c_n}的個數，在創新階數為2的所有數列{c_n}中，它們的首項的和為

m-1

k=1

k

(m-1)!

m-k

=（m-1）!

m-1

k=1

k

m-k

．

解答：（Ⅰ）解：由題意，創新數列為3，4，4，5，5的數列{c_n}有兩個，即：
（1）數列3，4，1，5，2；---------------------------（2分）
（2）數列3，4，2，5，1．---------------------------（3分）
注：寫出一個得（2分），兩個寫全得（3分）．
（Ⅱ）答：存在數列{c_n}，它的創新數列為等差數列．
解：設數列{c_n}的創新數列為{e_n}（n=1，2，3…，m），
因為e_m為c₁，c₂，…c_m中的最大值．
所以e_m=m．
由題意知：e_k為c₁，c₂，…c_k中最大值，e_k+1為c₁，c₂，…c_k+1中最大值，
若{e_n}為等差數列，設其公差為d，則d，e_k+1，e_k，0，-----------（5分）
當d=0時，{e_n}為常數列，又e_m=m，
所以數列{e_n}為m，m，m，…，m，此時數列{c_n}是首項為m的任意一個符合條件的數列；
當d=1時，因為e_m=m，
所以數列{e_n}為1，2，3…，m，此時數列{c_n}是1，2，3…，m；-----------（7分）
當d=2時，因為e_m=e₁+（m-1）d=2m-2+e₁，
又m＞3，e₁＞0，所以e_m＞m，
這與e_m=m矛盾，所以此時{e_n}不存在，即不存在{c_n}使得它的創新數列為d=2的等差數列．
綜上，當數列{c_n}為：（1）首項為m的任意符合條件的數列；
（2）數列1，2，3…，m時，它的創新數列為等差數列．---------------------------（9分）
注：此問僅寫出結論（1）（2）者得（2分）．
（Ⅲ）解：設{c_n}的創新數列為{e_n}（n=1，2，3…，m），
由（Ⅱ）知，e_m=m，
由題意，得e₁=c₁，
所以當數列{c_n}的創新階數為2時，{e_n}必然為c₁，c₁，…c₁，m，m…m（其中c₁＜m），---------------------（10分）
由排列組合知識，得創新數列為k，k，…，k，m，m…，m的符合條件的{c_n}的個數為
C_m-1^m-kA_m-k-1^m-k-1A_k-1^k-1=

1

m-k

A

m-k m-1

A

k-1 k-1

=

1

m-k

(m-1)!，----------------（12分）
所以，在創新階數為2的所有數列{c_n}中，它們的首項的和為

m-1

k=1

k

(m-1)!

m-k

=（m-1）!

m-1

k=1

k

m-k

．---------------------------（14分）

點評：本題主要考查了創新數列的定義，以及分類討論的思想和排列組合等知識，對于學生有很大的難度，屬于難題．