設m＞3，對于有窮數列{an}（n=1，2，…，m），令bk為a1，a2，…ak中的最大值，稱數列{bn}（為{an}的“創新數列”．數列{bn}（中不相等項的個數稱為{an}的“創新階數”．例如數列2，1，3，7，5的創新數列為2，2，3，7，7，創新階數為3．考察自然數 1，2…m（m＞3）的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列{cn}．
（1）若m=5，寫出創新數列為3，4，4，5，5的所有數列{cn}；
（2）是否存在數列{cn}，使它的創新數列為等差數列？若存在，求出所有的數{cn}，若不存在，請說明理由．
【答案】分析：根據令bk為a1，a2，…ak中的最大值，稱數列{bn}為{an}的“創新數列”，
（1）創新數列為3，4，4，5，5的所有數列{Cn}，可知其首項是3，第二項是4，第三項是1或2，第四項是5，第五項是2或1，可寫出{Cn}；
（2）假設存在數列{Cn}，使它的創新數列為等差數列，根據創新數列的定義和等差數列的定義，分類討論可求得{Cn}．
解答：解：（1）由題意，創新數列為3，4，4，5，5的數列{cn}有兩個，即：
①數列3，4，1，5，2；
②數列3，4，2，5，1．
（2）假設存在數列{cn}，它的創新數列為等差數列．
設數列{Cn}的創新數列為{en}（n=1，2，…m），
因為em為，c1，c2…cm中的最大值．
所以em=m．由題意知：ek為c1，c2，…ck中最大值，
ek+1為c1，c2，…，ek，ek+1中最大值，
所以ek≤ek+1，且ek∈{，2，…，m}．
若{en}為等差數列，設其公差為d，
則d=ek+1-ek≥0，且d∈N，
當d=0時，{en}為常數列，又em=m，
所以數列{en}為m，m，…，m，
此時數列{cn}是首項為m的任意一個符合條件的數列；
當d=1時，因為em=m，所以數列{en}為1，2，3，…，m，
此時數列{cn}是1，2，3，…，m；
當d≥2時，因為em=e1+（m-1）d≥e1+（m-1）×2=2m-2+e1，
又m＞3，e1＞0，所以em＞m，這與em=m矛盾，所以此時{en}不存在，
即不存在{cn}使得它的創新數列為d≥2的等差數列．
綜上，當數列{cn}為：1°首項為m的任意符合條件的數列；
2°數列1，2，3，…，m時，它的創新數列為等差數列．
點評：考查學生理解數列概念，靈活運用數列表示法的能力，旨在考查學生的觀察分析和歸納能力，特別是問題（2）的設置，增加了題目的難度，同時也考查了等差數列的定義和分類討論的思想，屬難題．
