Question

【題目】已知動圓M與直線相切，且與圓外切，記動圓M的圓心軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且（O為坐標原點），證明直線l經過定點H，并求出H點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）

（2）H（6,0），證明見解析

【解析】

（1）根據拋物線的定義即可求解；

（2）設，，直線l的方程為，聯立方程，消去，列出韋達定理，根據即可得到方程，解得.

解：（1）因為已知動圓與直線相切，且與圓外切，

所以動圓的圓心到點的距離與動圓的圓心到直線的距離相等.

∴動圓的圓心的軌跡是以為焦點的拋物線.

∴曲線的方程.

（2）∵直線l與曲線相交于A，B兩點，∴直線l的斜率不為0.

設，，直線l的方程為.

由，消去，得.

∴，即.

∴，.

∵，∴.

∴.

∴，滿足.

∴直線l的方程為.

∴直線l過定點H（6,0）.