Question

（本小題滿分12分）

對于函數f(x)，若存在x₀∈R,使f(x₀)=x₀成立，則稱x₀為f(x)的不動點  已知函數f(x)=ax²+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

（1）若a=1,b=–2時，求f(x)的不動點；

（2）若對任意實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)的兩個不動點為–1,3

（2）0＜a＜1

【解析】解  （1）當a=1,b=–2時，f(x)=x²–x–3，。。。。2分

由題意可知x=x²–x–3，得x₁=–1,x₂=3  。。。。6分

故當a=1,b=–2時，f(x)的兩個不動點為–1,3  。。。。7分

（2）∵f(x)=ax²+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有兩個不動點，

∴x=ax²+(b+1)x+(b–1)，

即ax²+bx+(b–1)=0恒有兩相異實根。。。。。9分

∴Δ=b²–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立  。。。。。11分

于是Δ′=(4a)²–16a＜0解得0＜a＜1。。。。13分

故當b∈R，f(x)恒有兩個相異的不動點時，0＜a＜1  。。。。。。12分