Question

設(shè)函數(shù)f(x)=log₂（10-ax），a為常數(shù)，若f(3)=2。
（1）求a的值；
（2）求使f(x)≤0的x的取值范圍；
（3）若在區(qū)間[1，3]內(nèi)的每一個(gè)x值，不等式f(x)＞2^x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（4）討論關(guān)于x的方程|f(x)|=c+9x-x²的根的個(gè)數(shù)。

Answer 1

解：（1）由，得，
∴10-3a=4，∴a=2。
（2） 由（1）得，
∵，
∴，
∴的x的取值范圍為。
（3） 由得在[1，3]上恒成立，
即改求函數(shù)在[1，3]上的最小值，
又在上是單調(diào)遞減，且在上是單調(diào)遞增，
∴在[1，3]上是單調(diào)遞減的，
∴，即m＜-4，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是。
（4）要求方程的根的個(gè)數(shù)，
即改求函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
∵在上遞減，在上遞增，
∴，
又，
∴，
由圖象，得
①當(dāng)c+＞0，即c＞-時(shí)，方程有兩個(gè)根；
②當(dāng)c+=0，即c=-時(shí)，方程有一個(gè)根；
③當(dāng)c+＜0，即c＜-時(shí)，方程沒(méi)有根。