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求征:m為任意實(shí)數(shù)時(shí),直線(m-1)x+(2m-1)y=m-5必過(guò)定點(diǎn).

解析:分析1:由于m為任意實(shí)數(shù),直線方程表示直線系,任取m的兩個(gè)值,可得直線系中的兩條直線,這兩條直線的交點(diǎn)即是直線系過(guò)的定點(diǎn).

證明:取m=1時(shí),直線方程為y=-4.        ①

取m=時(shí),直線方程為x=9.              ②

顯然,直線①,②的交點(diǎn)為P(9,-4).

把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入原直線系方程的左端,得

(m-1)x+(2m-1)y=(m-1)·9-(2m-1)·4=m-5,

故不論m為何實(shí)數(shù),點(diǎn)P(9,-4)總在直線系(m-1)x+(2m+1)y=m-5上.

即此直線過(guò)定點(diǎn)P(9,-4).

分析2:m為任意實(shí)數(shù),則方程(m-1)x+(2m-1)y=m-5是對(duì)m而言的恒等式,根據(jù)恒等式定理,由m的一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)均等于零,就可得到直線系通過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo).

證明:將原方程按m的降冪排列,整理得

(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,

此式對(duì)于m的任意實(shí)數(shù)值都成立,根據(jù)恒等式的要求,m的一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)均等于零,故有

解得

∴m為任意實(shí)數(shù)時(shí),所給直線必通過(guò)定點(diǎn)(9,-4).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

求征:m為任意實(shí)數(shù)時(shí),直線(m-1)x+(2m-1)y=m-5必過(guò)定點(diǎn).

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